数学竞赛真题？参加IMO需经历四步：预赛、数学联赛、冬令营、集训队选拔。数学竞赛作为高校认可度高的学科，参加竞赛能为进入顶尖高校提供更多机会。利用好暑假时间，快速开启数竞学习之旅，赢在起跑线上。那么，数学竞赛真题？一起来了解一下吧。
【海量真题文件下载】
获取2024年多省市高中数学联赛初赛试题及历年数学竞赛真题，点击下载：
北京、浙江、重庆、四川、吉林、广西、内蒙古等地试题，长按保存试题图片，扫描二维码下载历年数学竞赛PDF合集。
北京、浙江、重庆、四川、吉林、广西、内蒙古试题详情，请向下划动查看。
【真题下载通道】
1. 电子版真题：扫描二维码获取完整版PDF下载链接，永久有效。下载丘成桐英才班、新领军等试题。
2. 纸质版印刷：扫码登记地址，开通会员免费邮寄，获取强基计划等真题。
【强基计划交流群】
加入学术同盟强基卓越交流群，获取强基竞赛相关学习资料、最新资讯，与全国各地小伙伴交流学习。
【少年班备考宝书】
获取少年班真题及备考宝书，包括历年考试真题和特殊招生【笔试面试】资料。扫描二维码下载丘成桐英才班、新领军等数学竞赛文件。
【加入我们】
加入强基计划群、卓越计划群、物理竞赛群、化学竞赛群，获取更多学习资源和最新资讯。扫描二维码，即可加入。等你来哦！
A.24.B. 25. C.26 .D.27.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）A. .B.. C..D..3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（C）A.1.B. 2. C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （B）A. B. C. D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝（ D）A. .B.. C..D..6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是（B）A.3 B. 4.C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.解（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，即 . 又 ，所以 ，解得 .. 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：②证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.将①②两式相乘，得 ，即 ， 即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以 或 或 ，即 或 或 .因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB. 解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .又因为CH⊥AB，所以 ，因此 .又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆. 又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设 ，则 （A）A.24.B. 25. C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）A. .B.. C..D..3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（C）A.1.B. 2. C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （B）A. .B.. C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （D）A. .B.. C..D..6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （B）A.3.B. 4. C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.解（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，即 . 又 ，所以 ，解得 .. 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件： ①②证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.将①②两式相乘，得 ，即 ， 即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以 或 或 ，即 或 或 .因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB. 解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .又因为CH⊥AB，所以 ，因此 .又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
2021年AMC12数学竞赛A/B卷真题解析，为您全面解读考试题型与难点。
AMC12 A卷剖析
去年A卷中，前7题难度适中，1-5题与AMC10重复，题目较为基础，第9题使用对数换底公式解决，需注意翻译准确性。第10题结合进位制和同余，要求熟悉同余公式。第17题为判别式计数综合，适合采用枚举法。第18题是一道概率题，可尝试转换法解决。第20题较为复杂，采用递推法与放缩法，与A卷重复。
AMC12 B卷解析
B卷难度与A卷相当，第1-7题难度适中，与A卷相似。第9题与A卷第9题类似，使用对数换底公式解决。第10题涉及进位制和同余，需熟悉同余公式。第11题难度适中，通过分类计数解决。第20题与A卷重复，采用递推法与放缩法解决。
考试题型分布
A卷与B卷题型分布大致相同，代数题占比最多，几何、数论与组合题量均衡，难度适中，但最后几题难度较大。A卷最后几题与B卷相比略显困难，尤其是组合题综合考查。
犀牛国际教育
犀牛国际教育专注于AMC国际竞赛，提供专业课程培训，包括实体中心与线上课程，确保高效学习。课程设置全面，线上线下灵活选择，助您在竞赛中取得优异成绩。
秋季班推荐
犀牛AMC竞赛秋季班在上海、苏州、深圳、南京、无锡等地设有实体中心，同时提供线上课程，满足不同学生需求。
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设 ，则 （A）A.24.B. 25. C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）A. .B.. C..D..3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（C）A.1.B. 2. C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （B）A. .B.. C..D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （D）A. .B.. C..D..6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （B）A.3.B. 4. C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.解（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，即 . 又 ，所以 ，解得 .. 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件： ①②证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.将①②两式相乘，得 ，即 ， 即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以 或 或 ，即 或 或 .因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB. 解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .又因为CH⊥AB，所以 ，因此 .又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆.又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
A.24.B. 25. C.26 .D.27.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（C）A. .B.. C..D..3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（C）A.1.B. 2. C. 3.D. 4.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （B）A. B. C. D..5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝（ D）A. .B.. C..D..6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是（B）A.3 B. 4.C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______.2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___.3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____.4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对.第二试 （A）一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值.解（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， .设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 .因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，即 . 又 ，所以 ，解得 .. 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：②证明：以 为三边长可构成一个直角三角形.将①②两式相乘，得 ，即 ， 即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以 或 或 ，即 或 或 .因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B）一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF‖AB. 解因为BN是∠ABC的平分线，所以 .又因为CH⊥AB，所以 ，因此 .又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆. 又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF‖AB.
以上就是数学竞赛真题的全部内容，17、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数。（7分）18、前进小学举行了一次数学竞赛，试题共15道。每做对1题得8分，每做错1题倒扣4分，小刚得了72分，他作对了几道题？（7分）19、王飞以每小时40千米的速度行了240千米，按原路返回时每小时行60千米。
