高一数学竞赛题？(1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ，则存在实数 z∈[y , x]，使得f(z) = ω - z ；(2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解，那么，高一数学竞赛题？一起来了解一下吧。
设 f(x)是满足下列条 件的函数：
(1) 若 x > y 且 f(x) + x ≥ ω ≥ f(y) + y ，则存在实数 z∈[y , x]，使得f(z) = ω - z ；
(2) 方程 f(x) = 0 至少有一个解，并在该方程的解中存 在一个解不大于所有其它的解；
(3)f(0) = 1 ；
(4) f(-1999) ≤ 2000 ；
(5) f(x)f(y) = f[xf(y) + yf(x) + xy] ；
求 f(-1999) 的值
已知条件很多，直接和所求结果密切相关的只有条件(4),由于条件(4)为f(—1999)≤2000，若我们还能推导f(－1999)≥2000，则f(－1999)的值就只能为2000，这是这种构造性题目的共同点.
解：令 F(x) = f(x) + x，则根据条件(3)有， F(0) = f(0) + 0 = 1
由条件(2)，可设 m 是f(x) = 0 的最小根，则F(m) = m①
首先证明这里的最小值 m 是正值，证明如下：
假如m ＜ 0，则对于 ω = 0，由条件(1)及 F(0)≥ω≥F(m)
也就是： 1 = f(0) + 0 = F(0)≥ω≥F(m) = f(m) + m = m
得到
存在 z ∈[m，0]，使得 F(z) = ω = 0
根据条件(5)可知
0= f(z)* 0= f(z)f(m)
= f[z f(m) + m f(z) + zm]
= f[m (f(z) + z)]
= f[m F(z)]
= f[m F(z)]
= f(0)
= 1
显然0≠1，这是因为假设m ＜ 0而导致的矛盾，所以，m ＞ 0
接上面的①式继续，
对于任意实数 x，因为m 是f(x) = 0 的最小根，由条件(5)有
0 = f(x)f(m) = f[x f(m) + u f(x) + xm]
= f[m (f(x) + xm)]
所以， f(x) + xm一定是方程f(x) = 0 的实根 ②
而上面的①中假设 m 是f(x) = 0 的最小根
所以 mf(x) + xm ≥m
从而，f(x) + x ≥ 1
即f(x)≥1 - x
所以 f(-1999)≥2000
考虑到条件(4)中的f(－1999)≤2000
所以 f(-1999) = 2000
解：
(1).换元法：令a=根号(1+x)，b=根号(1-x)，则有以下条件：
a>=0,b>=0,a^2+b^2=2, f(x)=a-b.所以f(x)^2=(a-b)^2= a^2+b^2-2a*b<=2(a^2+b^2)=4,
所以-2《f(x)《2。
(2). g(a,b)=ma-mb+ab的问题你自己想吧，以高一的知识应该只能返回x的表达式求导，并与边界值比较大小计算最小值了……不过太麻烦了，用变形后的g(a,b)应该求导简单点，将b=根号(2-a^2)代入求导，不过还要讨论m的范围吧，总之麻烦，不做了…………自己思考吧。
假设只解出甲题的人数是a人，只解出乙题的人数为b人，只解出丙题的人数为c人，解出甲乙的人 数为d人，解出甲丙的人数为e人，解出乙丙的人数为f人，三题均解出的人数为g人。那么
a+b+c+d+e+f+g=25①
b+f=2(c+f)②
a-d-e-g=1③
a/(a+b+c)=1/2④
由④部可得出a=b+c
由③部可得出a=d+e+g+1
化解①得3(b+c)+f=26
由第②部可得出f=b-2c，b-2c>0
将以上代入①式可得出4b+c=26
又因a=b+c,满足条件的就只有
b=6这种情况,所以只解出乙题的学生为6人
你的记号抄的也太乱了
这有一种方法，我都看不出和你书上的答案是不是一种
首先不能超过30*29+1。道理你应该已经知道了。
对于满足条件的集族，选取一个集合A，其他的30*29个集合分成30组，每组29个。每组中的所有集合都和A有一个公共元素，组内的29个集合没有其他的公共元素。在30组集合中选出一组，管他叫“参照组”，将其元素写成矩阵形式：
1,11,2..... 1,29
2,12,2....2,29
...
29,129,2....29,29
其中一行中的元素属于一个集合
以这组为参照，构造其他29组集合，方法如下：
第i组集合的第j列是由参照组的转置的第j列由上到下顺次移动(i-1)(j-1)个位置形成，如果下面溢出的话移到上面（这句话需要体会一下）
其实只要构参照矩阵行数是质数，就能构造出满足题意的矩阵，下面是用上面方法构造的3阶的例子
11 21 31
12 22 32
13 23 33
11 23 32
12 21 33
13 22 31
11 22 33
12 23 31
13 21 32
构造方法的直观意义比较明显，但表述成数学语言很费劲
若S中全部都是奇数，则显然S是不和谐的（因为两个奇数之和为偶数，而S中没有偶数）
∴S绝对值最大为n/2（n为偶数）或(n+1)/2 （n为奇数）
以上就是高一数学竞赛题的全部内容，4b+c=26 由题意 b+c<12 b>c 可得 b=6 c=2 故只解出乙题为6人 假设只解出甲题的人数是a人，只解出乙题的人数为b人，只解出丙题的人数为c人，解出甲乙的人 数为d人，解出甲丙的人数为e人，解出乙丙的人数为f人，三题均解出的人数为g人。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
