分形数学？分形几何主要研究吸引子在空间上的结构，它和混沌有共同的数学祖先—动力系统。如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那么由迭代法生成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。有的混沌学家说，混沌是时间上的分形，而分形是时间上的混沌。那么，分形数学？一起来了解一下吧。
自然界的许多事物和现象表现出极为复杂的形态，并非所显示的那样理想化.自相似性或标度不变性往往以统计方式表现出来，即当改变尺度时，在该尺度包含的部分统计学的特征与整体是相似的.这种分形是数学分形的一种推广，叫做统计分形.
数学分形是一种理想化的情况，它必须具备两个条件：
（1）数学分形曲线必须具有无穷的“层次”结构，像Koch曲线那样；数学分形必须是无限点的集合，像Cantor集合那样.只有无穷的层次结构，才能使自相似性或标度不变性处处成立.
（2）数学分形的任何一个局部放大后，都和整体在形状，数量以及统计分布上完全相似.
数学分形是分析自然界复杂事物的一个数学模型.要具体应用到真实的自然现象，应对数学分形做些推广和修正：①由无穷“层次”结构到有限的“层次”结构，或由无穷集合到有限集合的推广，这里就产生了在一定范围内自相似性或标度不变性成立的问题，即无标度区间的问题；②由严格的数学相似到近似的统计相似性的推广.
分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”[1]，此一性质称为自相似。分形一词是由本华·曼德博于1975年提出的，有“零碎”、“破裂”之意。
分形一般有以下特质：[2]
在任意小的尺度上都能有精细的结构；
太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
有着简单的递归定义。
因为分形在所有的大小尺度下都显得相似，所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）。自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等。但是，并不是所有自相似的东西都是分形，如实线虽然在形式上是自相似的，但却不符合分形的其他特质。
17世纪时，数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似，分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）。
直到1872年，卡尔·魏尔施特拉斯给出一个处处连续但处处不可微的函数，在今日被认为是分形的图形才出现。1904年，科赫·范·卡区不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义，给出一个相似函数但更几何的定义，今日称之为科赫雪花。
分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”[1],此一性质称为自相似.分形一词是由本华·曼德博于1975年提出的,有“零碎”、“破裂”之意.
分形一般有以下特质：[2]
在任意小的尺度上都能有精细的结构；
太不规则,以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
有着简单的递归定义.
因为分形在所有的大小尺度下都显得相似,所以通常被认为是无限复杂的（以不严谨的用词来说）.自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等.但是,并不是所有自相似的东西都是分形,如实线虽然在形式上是自相似的,但却不符合分形的其他特质.
17世纪时,数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递回的自相似,分形的数学从那时开始渐渐地成形（虽然他误认只有直线会自相似）.
直到1872年,卡尔·魏尔施特拉斯给出一个处处连续但处处不可微的函数,在今日被认为是分形的图形才出现.1904年,科赫·范·卡区不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义,给出一个相似函数但更几何的定义,今日称之为科赫雪花.1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形；隔年,又造出了谢尔宾斯基地毯.原本,这些几何分形都被认为是分形,而不如现今所认为的二维形状.1938年,保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进,他在文中描述了一个新的分形曲线－莱维C形曲线.
格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实数子集－康托尔集,今日也被认为是分形.
复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究,但直到现在有电脑绘图的帮忙,许多他们所发现的函数才显现出其美丽来.
1960年代,本华·曼德博开始研究自相似,且写下一篇论文《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》.最后,1975年,曼德博提出了“分形”一词,来标记一个物件,其豪斯多夫维数会大于拓扑维数.曼德博以显著的电脑架构图像来描绘此一数学定义,这些图像有着普遍的映象；许多都基于递归,以至“分形”的一般意思.
造法
四个制造分形的一般技术如下：
逃逸时间分形：由空间（如复平面）中每一点的递推关系式所定义,例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等.由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维矢量场也会产生分形,若点在此一矢量场中重复地被通过.
迭代函数系统：这些分形都有着固定的几何替代规则.康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、孟杰海绵等都是此类分形的一些例子.
随机分形：由随机而无确定过程产生,如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等.后者会产生一种称之为树状分形的分形,如扩散限制聚集或反应限制聚集丛.
奇异吸引子：以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生.
[编辑]分类
分形也可以依据其自相似来分类,有如下三种：
精确自相似：这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样.由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来.
半自相似：这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略（但非精确）相同.半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸.由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似.
统计自相似：这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度.大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似（分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度）.随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子.
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。
目录
分形几何的产生
两名数学家的贡献
芒德勃罗和电子计算机对分形几何的影响
分形几何的内容
关于维数
维数和测量的关系
分形几何学的应用
分形几何的意义
编辑本段分形几何的产生
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺分形几何
度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。
分1形诞生在以8多种概念和方8法相互8冲击和融合为6特征的当代。分6形混沌之r旋风0，横扫数学、理化1、生物、大f气4、海洋以4至社会学科，在音乐、美术间也w产生了x一g定的影响 分1形所呈现的无w穷玄机和美感引3发人h们去探索。即使您不t懂得其中1深奥的数学哲理，也w会为0之q感动 分0形使人a们觉悟到科学与q艺j术的融合，数学与t艺v术审美上w的统一i，使昨日1枯燥的数学不p再仅6仅8是抽象的哲理，而是具体的感受；不b再仅4仅4是揭示4一g类存在，而是一n种艺t术创作，分5形搭起了i科学与l艺b术的桥梁 “分5形艺o术”与x普通“电脑绘画”不g同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为2工o具从1事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分4形艺d术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能 2011-10-25 12:13:45
以上就是分形数学的全部内容，法国数学家芒德勃罗这位计算机和数学兼通的人物,对分形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书,特别是《分形:形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学(Fractal Geometry of Nature)》,开创了新的数学分支:分形几何学。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
