条件数学期望？条件期望是拉东-尼可蒂姆导数通过可测映射前推构造的，且二者在函子性框架下保持结构一致性。具体分析如下：1. 核心定义与前推关系拉东-尼可蒂姆导数：给定测度空间$(X,Sigma,mu)$，若测度$nu$对$mu$绝对连续，则存在可测函数$f=frac{dnu}{dmu}$（即$nu(A)=int_A f dmu$），那么，条件数学期望？一起来了解一下吧。
因为E(u|x)=0说明的是条件期望为0，Cov(u,x) = 0说明的是协方差，或者说线性相关系数为0。是不同层面的假设，所以说x和u无关。
讨论两个随机变量X与Y的场合，假定它们具有密度函数f(x,y) ，并以g(y|x) 记已知X=x的条件下Y的条件密度函数，以h(x) 记X的边缘密度函数。定义在X=x的条件下， Y的条件期望定义为：E(Y|X=x)=∫y*g(y|x)dy。
在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值。
设X和Y是离散随机变量，则X的条件期望在给定事件Y = y条件下是y的在Y的值域的函数，其中，是x处于X的值域。如果X是一个连续随机变量，而在Y仍然是一个离散变量。
性质：
若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。
如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
在近代概率论中，条件数学期望扮演着至关重要的角色，它在解决实际问题中展现出强大的实用性。遇到两个相互关联的随机变量X和Y，当我们知道X的值为y时，如何根据这个信息来预测Y的值，这就是常见的“预测问题”。条件数学期望E(Y|X=y)在这样的情况下，可以看作是给定X等于y时，对Y进行的合理预测。
举个例子（例6.18省略），人的身高和脚印长度常常被视为二维正态分布变量。我们可以通过以下公式来估计脚印长度的期望值：
E(Y|X) = ...
如果将这个关系在直角坐标系中表示，它会形成一条直线，这条直线描绘了身高Y如何依赖于脚印长度X的关系，通常被称为回归直线。一般情况下，通过公式
E(Y, X) 或 {X, E(Y|X)}
我们可以得到两条曲线，称为回归曲线。人们直观地认为，将E(Y|X)作为已知X等于y时的Y估计或预测是合理的，但这种合理性背后的数学性质和优点值得深入探讨。
接下来的章节将深入研究这些优良的性质，以揭示条件数学期望在预测问题中的精确性和有效性，以及它为何成为概率论分析中的关键工具。
扩展资料
条件期望，又称条件数学期望。为了方便起见，我们讨论两个随机变量ξ 与η 的场合，假定它们具有密度函数p(x，y) ，并以p（y∣x） 记已知ξ = x 的条件下，η 的条件密度函数，以p1(x) 记 ξ 的密度函数。
数学期望，通常被称为总体期望，代表了整个样本空间中所有可能结果的平均值。它能够反映所有情况下的总体平均水平。而条件期望则是基于某种特定条件下的期望值，它只关注在给定条件下可能出现的结果。比如，如果我们要计算全班同学的平均成绩，那么全班同学的平均成绩就是数学期望。但如果我们要计算特定条件下，如男生的平均成绩，那么这个特定群体的平均成绩就可以被视为条件期望。
数学期望的概念相对更为广泛，它适用于所有可能的结果。而条件期望则是在特定条件下对期望值的计算，可以看作是更具体的期望值。例如，假设我们有一个班级，其中一部分学生是男生，另一部分是女生。如果我们想知道男生的平均成绩，那么我们只考虑男生的成绩，这就是条件期望。
在实际应用中，数学期望和条件期望的区别在于，前者提供了总体的平均值，而后者则是基于特定条件下的平均值。这种差异在统计学中非常重要，因为它可以帮助我们更好地理解不同条件下的情况。
数学期望是基于所有可能的结果计算出的平均值，而条件期望则是在满足特定条件的情况下计算出的平均值。比如，在一个公司中，如果我们要计算全体员工的平均工资，这就是数学期望。但如果我们要计算某个部门员工的平均工资，这就是条件期望。
条件期望的测度论定义及条件期望函数如下：
条件期望的测度论定义： 设随机变量z在概率空间上积分存在，且σ代数σ为概率空间的子集。 若存在一个函数E，对于所有σ中的事件A，满足以下两个条件：1. 条件概率相等：E=E/P，若P不为零。即在事件A发生的条件下，z的条件期望等于z在A上的平均值。2. 期望保持不变：E)=E。即条件期望函数在整个概率空间上的期望等于原随机变量z的期望。
这里的E即是z关于σ的条件期望，它在概率空间中的作用相当于对随机变量z进行条件化处理，结果依赖于σ中的信息。
条件期望函数： 条件期望函数E是一个特殊的函数，它根据σ代数中的信息对随机变量z进行条件化处理。 这个函数满足上述两个关键条件，使得在给定σ的信息下，能够合理地估计z的期望值。 条件期望函数的存在性由RadonNikodym定理保证，该定理建立了测度之间绝对连续关系下的可测函数转换。
综上所述，条件期望的测度论定义基于概率论的理论基础，通过抽象的数学工具揭示了概率空间中随机变量之间关系的深层结构。
条件期望是拉东-尼可蒂姆导数通过可测映射前推构造的，且二者在函子性框架下保持结构一致性。具体分析如下：
1. 核心定义与前推关系拉东-尼可蒂姆导数：给定测度空间$(X,Sigma,mu)$，若测度$nu$对$mu$绝对连续，则存在可测函数$f=frac{dnu}{dmu}$（即$nu(A)=int_A f dmu$），此$f$称为$nu$关于$mu$的拉东-尼可蒂姆导数。
条件期望的定义：在概率空间$(X,Sigma,mu)$、可测空间$(Y,mathcal{F})$及可测映射$Phi:Xto Y$下，对可积随机变量$f:Xtomathbb{R}$，其关于$Phi$的条件期望定义为：$$f_Phi = Phi_ast(f) = frac{dPhi_ast(nu_f)}{dPhi_ast(mu)},$$其中$nu_f(A)=int_A f dmu$是$f$诱导的测度，$Phi_ast$表示测度的前推操作（即$Phi_ast(nu)(B)=nu(Phi^{-1}(B))$）。
图示说明：可测映射$Phi$将$X$上的测度$nu_f$和$mu$前推至$Y$上的测度$Phi_ast(nu_f)$和$Phi_ast(mu)$，条件期望$f_Phi$即为这两个前推测度的拉东-尼可蒂姆导数。以上就是条件数学期望的全部内容，条件数学期望E( )可以通过以下公式计算:\[ E( ) = \int_{-\infty}^{+\infty} y \cdot P(y|x) \, dy \quad \text{(3.90)} \]与离散型相同，连续型随机变量的条件期望也具有一些特性：对于任何a≤y≤b，有a≤E( )≤b。如果 是常数，并且E(1)和E(2)都存在，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
