九年级下册数学圆？九年级数学下册圆这一单元被认为是难度最大的部分。圆是初中数学中最具挑战性的内容之一，特别是在九年级的几何部分，它是整个初中阶段数学学习的难点。在这一章中，学生需要掌握圆的基本概念，如圆的概念、弦的概念和圆弧的概念，还要学习垂径定理以及如何证明圆的切线。此外，圆中的弧长计算和扇形、那么，九年级下册数学圆？一起来了解一下吧。
九年级数学圆的15个定理如下：
1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
观察∠B、∠P和∠AOC即可得出∠B=∠P=1/2∠AOC。
2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
观察∠B、∠P、∠AOC、弧AC、弦AC、弦心距OS，即可得出上述结论。
备注：圆心角定理的4个结论中，只要知道其中的1个相等，即可推出其它的3个结论。
3.切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线。
观察OC、CT即可得出上述结论。
4.切线性质定理：切线垂直于过切点的半径。
观察TC、CO即可得出上述结论。
5.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
观察TC、TA即可得出上述结论。
6.相交弦定理：圆内两条弦相交交点，分得的两条线段的乘积相等。
观察△PAE和△BCE，由于∠P=∠B，∠PEA=∠BEC，∠PAE=∠BCE，所以△PAE∽△BCE，对应边成比例PE：BE=EA：EC，交叉相乘即可得到PE·EC=BE·EA。
7.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。
圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是我给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!
九年级数学下册《圆》知识点整理
第十章 圆
★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。
☆ 内容提要☆
一、圆的基本性质
1.圆的定义(两种)
2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理
4.垂径定理及其推论
5.“等对等”定理及其推论
5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)
⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)
⑶弦切角定义(弦切角定理)
二、直线和圆的位置关系
1.三种位置及判定与性质：
初中数学复习提纲
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…
4.切线长定理
三、圆换圆的位置关系
初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)
2.相切(交)两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质
四、与圆有关的比例线段
初中数学复习提纲1.相交弦定理
2.切割线定理
五、与和正多边形
1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)
2.三角形的外接圆、内切圆及性质
3.圆的外切四边形、内接四边形的性质
4.正多边形及计算
中心角： 初中数学复习提纲
内角的一半： 初中数学复习提纲 (右图)
(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲 、 初中数学复习提纲 等)
六、一组计算公式
1.圆周长公式
2.圆面积公式
3.扇形面积公式
初中数学复习提纲4.弧长公式
5.弓形面积的计算方法
6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算
七、点的轨迹
六条基本轨迹
八、有关作图
1.作三角形的外接圆、内切圆
2.平分已知弧
3.作已知两线段的比例中项
4.等分圆周：4、8;6、3等分
九、基本图形
十、重要辅助线
1.作半径
2.见弦往往作弦心距
3.见直径往往作直径上的圆周角
4.切点圆心莫忘连
5.两圆相切公切线(连心线)
6.两圆相交公共弦
九年级数学下册圆这一单元被认为是难度最大的部分。
圆是初中数学中最具挑战性的内容之一，特别是在九年级的几何部分，它是整个初中阶段数学学习的难点。在这一章中，学生需要掌握圆的基本概念，如圆的概念、弦的概念和圆弧的概念，还要学习垂径定理以及如何证明圆的切线。此外，圆中的弧长计算和扇形、弓形面积的计算也构成了重要的学习内容。由于这些知识点相对复杂且抽象，因此，中考时常会出一道关于圆的证明题，进一步增加了学习的难度。
圆这一章的知识点不仅涵盖了丰富的几何概念，还包括了一些重要的证明技巧，这对学生的思维能力和空间想象能力提出了很高的要求。因此，对于许多学生来说，圆这一单元的学习过程可能会充满挑战，需要付出更多的努力和时间。
圆的学习不仅要求学生具备扎实的几何基础，还需要较强的逻辑推理能力和空间想象力。这一章的学习过程可能会让许多学生感到困惑和挫败，尤其是在证明题上，往往需要灵活运用多种定理和方法，这对学生的综合能力提出了较高的要求。
鉴于圆这一章节的重要性，教师通常会花费较多的时间和精力进行讲解和练习，以帮助学生更好地理解和掌握这些复杂的概念和技巧。因此，尽管圆这一单元确实存在一定的难度，但通过充分的准备和努力，学生还是能够克服这一挑战，取得较好的学习效果。
九年级数学第23章
（ 圆 ）
一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)：
1.下列说法正确的是( )
A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆
C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆
2.在同圆或等圆中，如果 ＝，则AB与CD的关系是()
(A)AB＞2CD；(B)AB＝2CD； (C)AB＜2CD； (D)AB＝CD；
3.如图(1),已知PA切⊙O于B,OP交AB于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个
A.3B.4C.5D.6
4.已知⊙O的半径为10cm,弦AB‖CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB和CD的距离为( )
A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.10cm或20cm
5.在半径为6cm的圆中,长为2 cm的弧所对的圆周角的度数为( )
A.30°B.100 C.120° D.130°
6.如图(2),已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( )
A.80°B.100°C.120° D.130°
7. ⊙O的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB是⊙O弦,则 等于( )
A.25 cm2B.50 cm2 C.100 cm2 D.200 cm2
8.如图(3),半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC,取BC=AB,OC交⊙O于E,AC 交⊙O于点D,则 和 的度数分别为( )
A.15°,15°B.30°,15°C.15°,30°D.30°,30°
9.若两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且R2+d2=r2+2Rd, 则两圆的位置关系为()
A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是()
A.180°B.200°C.225°D.216°
二、填空题:(每小题4分,共20分)：
11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为.
12.如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.
13.在⊙O中,弦AB所对的圆周角之间的关系为_________.
14.如图(4), ⊙O中，AB、CD是两条直径，弦CE‖AB， 的度数是40°，则∠BOD＝.
(4)
15. 点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________.
16.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长6 ,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是__________.
17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____
18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 ,则弧长与原弧长的比为______.
19.如图(5),A是半径为2的⊙O外一点,OA=4,AB是⊙O的切线,点B是切点,弦BC ‖OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.
20.如图(6),已知扇形AOB的圆心角为60°,半径为6,C、D分别是 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.
三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分)
21.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上）
这个角是直角
这叫垂径定理
圆周角定理 是
多少
——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧
360
别的我就不知道了
．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．
2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．
圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）
切线长定理
垂径定理
圆周角定理
弦切角定理
四圆定理
3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧
8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
9.圆的两条平行弦所夹的弧相等
10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.
(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.
12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.
14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.
15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.
16.同一个弧有无数个相对的圆周角.
17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.
18.圆的内接四边形的对角互补或相等.
19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.
20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.
补充：九点共圆定理
三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.
九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.
4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切.
5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO
九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
以上就是九年级下册数学圆的全部内容，1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。观察∠B、∠P和∠AOC即可得出∠B=∠P=1/2∠AOC。2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。观察∠B、∠P、∠AOC、弧AC、弦AC、弦心距OS，即可得出上述结论。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
