数学分析笔记？卓里奇《数学分析》学习笔记：实数理论的奥秘：0.99…=1的启示：通过构造性方法，揭示了实数理论的深刻内涵。实数理论的基础：由公理、性质、计数法则和十进制等模型构成，为数学提供了坚实的基石。自然数集与算数基本定理：自然数集的诞生：通过数学归纳法得到，体现了数学的智慧。那么，数学分析笔记？一起来了解一下吧。
卓里奇《数学分析》学习笔记：0.99…等于1的原理
实数公理与运算性质：
卓里奇的《数学分析》第二章从实数的公理出发，详细阐述了实数的性质和构造过程。
加法公理和乘法公理定义了实数集上的基本运算，保证了实数加法运算的唯一性、结合性和交换性，以及乘法运算的性质。
构建计数系统与有理数序列逼近：
在构建计数系统时，引入了有理数序列逼近实数的思想。
通过有理数的有限序列逼近任意实数，实数集可以表示为满足实数公理的集合。
十进制计数法与无限循环数列：
在构造数的计数系统时，引入了十进制计数法。
0.99…是一个在十进制计数系统中的无限循环数列。
0.99…等于1的原理：
0.99…代表的实数与1的差值无限趋近于零。
根据实数公理和阿基米德原理，这一差值能够无限缩小，因此可以认为0.99…等于1。
这一等价性不仅基于实数的性质，还依赖于计数系统构建的逻辑，揭示了数学分析中的深刻原理。
《数学分析》第三版，陈纪修等人编著，成为学习资源选择之一。最初，因对历史发展顺序的兴趣，选择了龚升的《简明微积分》。然而，出于其他原因，转向了《数学分析》。《简明微积分》以其按数学史顺序编排，先引入微积分，后完善实数理论严格证明的特点吸引人。
笔记遵循《数学分析》目录顺序进行，图片为手写笔记，字迹可能不佳，望见谅。非官方习题参考答案置于文末。
第一章深入探讨集合与映射，内容涵盖集合、集合运算、有限与无限集的概念，以及Descartes乘积。集合映射与函数的定义与性质亦在此章节中得到阐述。
第二章集中于数列极限与实数系的连续性，强调最大数、最小数、上确界与下确界的概念。Dedekind切割定理为实数系的建立提供了关键支撑。数列与数列极限的性质及四则运算法则在此章节被详细介绍。无穷大量与待定型问题也在此部分被探讨。
第二章内容尚待补充，第三章的学习与笔记撰写正在进行中。
学习旅程未完待续，衷心感谢Alex_Mercer_boy的陪伴。
实数集在数学分析中的重要性在于其完备性，即能填补有理数集的空隙，以确保数轴的连续性。本文将从有理数集出发构造实数集，并定义其运算和序关系，最终证明它是完备的阿基米德有序域。
首先引入分割概念：设[公式] 为有理数集的子集，若满足(1) [公式] 且 [公式] ；(2)若 [公式] ，则对任意有理数 [公式] 有 [公式] ；(3) [公式] 无最大元，则称 [公式] 为一个分割。分割外的有理数大于分割内的有理数，且分割右边不能闭合，故称分割为开区间。分割中的元素分为下数和上数，上数中最小者称为最小上数。例如，分割[公式] 为 [公式] 到0.56（不含）的有理数构成集合，0.55为下数，0.56、1、65为上数，0.56为最小上数。
有理分割定义为存在最小上数的分割，这使得我们能够将分割与有理数等同看待。序关系定义为集合中三个元素满足自反、反对称、传递的二元关系，进一步分为偏序关系和全序关系，后者要求任意两个元素均能比较大小。偏序关系满足性质：自反性、反对称性、传递性，全序关系在偏序关系基础上增加完全性。自然数、整数、自然数的有限子集、自然数的整除关系和特定集合的幂集等均满足全序关系。
分割之间的序关系定义为：若 [公式] ，则称 [公式] 小于 [公式]；若 [公式] ，则称 [公式] 小于或等于 [公式] 。
探索数学之美：深入理解卓里奇《数学分析》
在数学的无穷世界里，0.99...=1这一看似简单却富含深意的问题，其实可以通过构造性方法揭示实数理论的奥秘。实数理论，作为数学大厦的基石，由公理、性质、计数法则和诸如十进制（位计数系统）这样的模型构成。在这个体系中，加法、乘法的定义使得实数集合成为阿贝尔群和代数域，其有序性以及上确界和下确界的存在，为我们的数理世界赋予了严谨的逻辑结构。
自然数集的诞生并非偶然，而是通过数学归纳法的智慧。算数基本定理如同一个精妙的乐章，揭示了素数在自然数分解中的舞蹈。阿基米德原理则像一把尺子，丈量着实数区间，确保每个数都有其确切的位置。
有理数序列作为实数模型的一种，通过不断逼近的方式，我们得以理解无尽的实数世界。位计数系统的基石是对数法，它证明了看似无穷的序列，如\( a^n \)，其实存在着界限。通过这一巧妙构造，我们构建了数的计数系统，确保每个数字都有其确切的位置和意义。
定理的精炼表述如下：
1. 对于固定的\( a \)，无论正数\( k \)如何，总能找到唯一的整数\( k' \)，满足\( ak^n \leq k' < (a+1)k^n \)。
每个有理数能够唯一展成连分数，即 a/b 可以表示为 a/b = q_1 + 1/(q_2 + 1/(q_3 + ...))，其中 q_i 为整数。这由欧几里得辗转相除法得出，表示有理数的不完全商。每个近似连分数 p_n/q_n 满足 |p_n/q_n - a/b| < 1/(q_nq_{n+1})，意味着 p_n/q_n 接近于有理数 a/b。近似分数的分子和分母 p_n, q_n 按照规律建立，通过递推公式计算得到。两相邻近似分数之差的计算公式为 |p_n/q_n - p_{n-1}/q_{n-1}| = 1/(q_nq_{n-1})。无穷连分数具有确定的值，这可通过近似分数数列的极限得出。无穷连分数通常为无理数，但特殊情况可能为有理数。斐波那契数列与无穷连分数近似分数的分母相关，可通过特定公式计算得到。每个无穷连分数可以视为近似分数数列的极限，这一极限值即为无穷连分数的值。通过分析近似分数的不等式，可以证明无穷连分数值的存在性与收敛性。
进一步讨论，每个有理数可以唯一展为连分数，该连分数表示由辗转相除法得到，即 a/b = q_1 + 1/(q_2 + 1/(q_3 + ...))，其中 q_i 是整数。
以上就是数学分析笔记的全部内容，夹逼准则表述为：若三个数列从某项开始成立，则数列极限存在。证明基于数列的单调性和有界性，通过选取适当项数，证明数列收敛于某一值。例题1：证明极限\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \]中，数列\[ \left\{ \frac{1}{n} \right\} \]满足夹逼准则。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
